フィボナッチ数が現れる問題から。
wikipediaにもある有名な問題ですね。
フィボナッチ数列、1,1,2,3,5,8,13,21...
以下、フィボナッチ数列を自然数nを項数としたF(n)と定義する。
階段n段を1段、または2段ずつ登って行くとき、その登り方の通りはF(n+1)通りである。
例：n=7、つまり階段7段を1段、または2段ずつ登るときの登り方を考えると
1段1回、2段3回…4C1=4通り
1段3回、2段2回…5C3=10通り
1段5回、2段1回…6C5=6通り
1段7回、2段0回…7C7=1通り
以上の場合の和は21通り。
したがって21通りの登り方がある。
これはn=7としたときF(7+1)=F(8)通りと等しい。
登り方を漸化式で「どんっ」と定義すればそこまで難しい事ではないです。
ただ漸化式を使わずに一般化して解く方法は無いものかと思いますた。
普通に式を立てようとしたらΣの処理で詰まりました。
誰か一般的に証明をしてくれる猛者は居ないのですか＾ｑ＾
ちなみに項が奇数の時の式は
F(2n-1)=1+Σ(k=0 to (n-3)/2) (n+1+2k/2)C(2k+1)となりました。
※n≧3、n=1のときは1
例えばn=11のとき
1+6C1+7C3+8C5+9C7+10C9=1+6+35+56+36+10=144
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,(144)からF(12)
これを閉じた式で表せないものか…。
恐らくこんな素直に式を立てているようでは解けませんね。
まぁ、時間がある時にまた挑戦してみますか…。
あともう一つ
フィボナッチ数列の逆数の総和(1/1)+(1/1)+(1/2)+(1/3)+(1/5)+(1/8)+(1/13)+.. .
この無限和が3.35988...に収束することについて。
調べても証明が見つからなかったですね。
代わりに証明をしてくれる、または探してくれる人は居ないですか・ｗ・
居ないですね・ｗ・
とりあえずせめて収束するという事実だけでも頑張ってみますか。
宣伝乙ｗｗｗｗ
宣伝でもぜんぜんいいおｗｗｗ
完成したら見るわｗ
数列は習うの三年だったっけ？楽しみでしょうがない
2011年08月31日 00:47 by マーラ
自然数kを無限大に飛ばすと第k項と第k-1項の比が黄金比に収束することで有名なフィボナッチ数列。
ここで一つ。
フィボナッチ数に平方数は無数に存在するか。
フィボナッチ数自体は無数に存在しますね。
でも実はフィボナッチ数で平方数なのは1と144だけです。
とまぁ…そんなことはどうでもいいですね。
数学の雑学はあるので適当に書いてみます。
証明は流石に面倒なのでとりあえず理屈を少しだけ説明していつかブログかここで紹介でもしようかな…。
証明って言っても厳密な部分はすっ飛ばしてますが。
2つの数の最大公約数が1を「互いに素」とします。
例えば12と17は互いに素ですし、33と40なども互いに素です。
ではここで一つ問題。
自然数全体から2つの自然数を取ります。
その時、その2つの自然数が互いに素である確率はどのくらいでしょうか。
もちろん自然数は無数に存在します。普通に求めていくくらいじゃできませんね。
まぁ、取り出す元の全体の自然数を凄い大きくすればある程度近似は出来ると思いますが。
ちなみに答えは6/π^2
大体61％くらいです。（πは円周率、^2は2乗）
これは、過去ブログで更新したことがある
http://zumechan.blog109.fc2.com/blog-entry-125.html
のバーゼル問題と大きく関わりがあります。
確率を問う問題で円周率が出てくるなんて不思議な話ですよね。
ζ関数は和の形ですが、上手く変形させていくと素数を使った積の形で表す事が出来ます。（オイラー積）それの逆数と、2つの自 然数が互いに素である確率が一致するようになっています。
ブログの方ではΣやマクローリン展開が出てきていますが、Σは高校で習う公式云々を抜けばただの足し算を見やすくした形で小学 生にも理解出来ると思うのでわからない人は是非意味を覚えて下さい。
マクローリン展開は「そんなものあるんだ」程度で十分です。ただ「微分」を習っていないと意味すら理解できませんね；；
微分の基礎もいつか説明しておくかな…。
と、こんな感じです。
今は数列クイズの動画を作成中なので完成したら是非見てくれると嬉しいです。
では宣伝ですた。
追記
数列は確か2年生で習います。（数Ｂ）
その時に初めてΣの扱い方を習いますね。
Copyright(c)1999 FC2, Inc. All Rights Reserved.
@fc2infoさんをフォロー
